Marco móvil

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En matemáticas, la idea de un marco [n-edro (diedro, triedro,etc.); bastidor; etc.] en la teoría de las variedades diferenciables se sobreentiende que significa que puede variar punto a punto. Dada tal variedad M y un punto P en él, un marco en P significa un espacio vectorial base del espacio tangente al M en P. Es decir, si M tiene dimensión n, nos dan n vectores tangente t₁..., t_n al M en P que son linealmente independientes. Un marco móvil en alguna vecindad U de P requiere que nos den

T₁..., T_n que son campos vectoriales definidos en U, que debemos asumir varían diferencialmente en función de Q en U, y son también vectores linealmente independientes en cada punto Q (asuma por simplicidad que M tiene dimensión n por todas partes).

En términos muy generales, tal marco móvil es el requisito de un observador en relatividad general, donde no hay manera privilegiada de continuar la elección de los t_i, conocida en P, a los puntos próximos. En contraste en relatividad especial M se toma como un espacio vectorial V (de dimensión cuatro). En ese caso los t_i se pueden trasladar de P a cualquier otro punto Q de una manera bien definida.

En relatividad y en geometría de Riemann, la clase más importante de marcos móviles son los marcos ortogonales y los ortonormales, es decir, los marcos que abarcaban conjuntos ordenados de vectores normales (unitarios) en cada punto. En un punto dado P un marco general se puede hacer ortonormal por ortogonalización; de hecho esto se puede hacer diferencialmente, de modo que la existencia de un marco móvil implique la existencia de un marco ortonormal móvil.

La existencia de un marco móvil está clara, localmente en M; pero la existencia global en M requiere condiciones topológicas. Por ejemplo cuando M es un círculo, o más generalmente un toro, tales marcos existen; pero no cuando M es una 2-esfera. Una variedad que tiene un marco móvil global se llama paralelizable. Nótese, por ejemplo, cómo las direcciones unitarias de latitud y longitud en la superficie de la tierra colapsan como marcos móviles en los polos norte y sur.

El método de marcos móviles de Elie Cartan se basa en tomar un marco móvil que se adapte al problema particular que es estudiado. Por ejemplo, dada una curva en el espacio, los primeros tres vectores derivados de la curva pueden en general dar un marco en un punto de ella (de aquí la clásica expresión: método del triedro móvil. cf. torsión para la forma cuantitativa de esto - se asume que la torsión no es cero). Más generalmente, el significado abstracto de un marco móvil es una sección del fibrado principal para GL_n que es un fibrado asociado al fibrado tangente como fibrado vectorial. El método de Cartan general explota esto, y se discute en conexión de Cartan.

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